De vijfster (Pentagram) heeft een vijfvoudige symmetrie. Het hart van deze vijfster wordt gevormd door een vijfhoek (Pentagon). Maar met deze vijfvoudige symmetrie is iets eigenaardigs aan de hand. Om dit te illustreren geeft John Leinhard van de Universiteit van Houston een goed voorbeeld. Laat iemand een driehoek, vierkant en een vijfhoek (Pentagon) zien en vraag welke van deze drie vormen het minst symmetrisch is. Vrijwel iedereen pikt de vijfhoek eruit. Hij verklaart dit omdat deze vorm slechts in ons onderbewustzijn vertegenwoordigd is, dat wil zeggen we ons van de vijfvoudige symmetrie van de vijfster niet bewust zijn. Maar als iemand gevraagd wordt een ster te tekenen, komt vrijwel bij iedereen een vijfster in beeld. De natuur geeft ons ongemerkt vele voorbeelden van deze symmetrie. Snijdt maar eens een appel opzij dwars door midden, dan zie je een prachtige vijfster met in elke punt een zaadje. Als je er goed op let zie je overal om je heen voorbeelden van de vijfster. Op een bierblikje van een bepaald merk, de voetbal van de "champions league", de nationale vlaggen van meer dan 60 naties hebben de vijfster als symbool en niet te vergeten de vijfster van het Pentagon in Washington, een symbool van de militaire macht van Amerika.

Reden waarom we dieper willen doordringen in de kracht van de symboliek van de vijfster, zijn geometrie, historie etc. Ook de nauwe verbondenheid van de vijfster met de astronomie en astrologie. Zeer frappant is daarbij dat de graden van de hoeken van de vijfster te maken hebben met de precessie van de poolas (zie vorige nieuwsbrief). In de vijfster zijn ook de verhoudingen van de Gulden Snede vertegenwoordigd, alsmede de getallen van de zgn. Fibonacci reeks. Maar we beginnen met de geometrie van de vijfster.Zoals reeds hebben gezegd heeft de vijfster een vijfvoudige symmetrie. In de anorganische wereld van sneeuwvlokken tot bergkristallen zijn de atomen zo gerangschikt dat een 2,3,4 en 6 voudige symmetrie alleen tot de mogelijkheden behoort. Volgens de chemici is een vijfvoudige symmetrie uitgesloten voor anorganische kristallen.

Tot in 1982 D. Shechtman in Israël, samen met een aantal medewerkers, een vijfvoudige symmetrie in een aluminium mangaan legering heeft ontdekt. Het duurde echter nog tot december 1984 dat hun opzienbare ontdekking in de wetenschappelijke wereld werd geaccepteerd.
Men heeft deze kristallen met een vijfvoudige structuur quasikristallen genoemd.. Het is soort missing link tussen de anorganische en organische wereld. Roger Penrose in zijn boek "The emperor's new mind" geeft een mogelijke verklaring voor het ontstaan van deze quasikristallen. De structuur van een kristal met vijfvoudige symmetrie kan niet ontstaan door atomen één voor één toe te voegen zoals bij het klassieke patroon van de kristalgroei gebeurt. Volgens Penrose ontstaan de quasikristallen volgens een quantum fysisch proces, waarbij de atomen ontwikkelen uit een keuze van vele atomische mogelijkheden. De natuur kiest bij een normale kristallijnen opbouw altijd voor een structuur die het minst energie kost. Ieder individueel atoom zoekt naar de beste oplossing om zich te hechten aan het kristal en daarbij zijn eigen individuele energie probleem op te lossen Bij de vorming van een quasikristal is dit niet mogelijk. Er moet een coöperatieve poging worden gedaan door een groot aantal atomen tegelijkertijd, die dan gezamenlijk kiezen voor de beste structuur. Een soort joint venture. Hierbij wordt de originele tekst van Penrose van de verklaring voor de vorming van een quasikristal met vijfvoudige symmetrie weergegeven, omdat de lezer dan misschien een beter beeld kan krijgen van de ingewikkeldheid van deze materie.

Als U er niets van begrijpt bent U in goed gezelschap want de grote kwantum fysicus Richard Feynman heeft eens gezegd:

De constructie van een vijfster is met behulp van de precessie getallen 36, 54, 72 en 108 makkelijk te uit te voeren. (Tekeningen van deze constructie zijn te zien onder nieuwsbrief 5a: constructie van een vijfster).

1.Construeer een gelijkzijdige vijfhoek (Pentagon) met hoekpunten van 108 graden.
2. Verleng twee zijden van de vijfhoek tot ze elkaar snijden. Er ontstaat een driehoek met een tophoek van 36 graden en twee basishoeken van 72 graden.
3.Doe dit ook met de overige zijden en zie de vijfster is geboren. Verbindt de hoekpunten van de vijfhoek met elkaar. Er ontstaat weer een vijfhoek. In het hart van deze vijfster ligt een kleinere vijfhoek. Zo kan je dus vrijwel oneindig door blijven gang blijven doorgaan, steeds kleiner en dalen we af in de microkosmos. ( De verpleegster op het Droste blikje cacao).
4.We kunnen ook van de eerst geconstrueerde vijfhoek de zijden zodanig verlengen, dat ze elkaar snijden en zie een grotere vijfster is geboren en ook nu kunnen we doorgaan en begeven ons dan in de macrokosmos.
5.Om elke vijfster kunnen we een cirkel trekken die de hoekpunten van de vijfster verbindt.. Het middelpunt van deze cirkel vinden we door van twee hoeken van de vijfster een lijn te trekken die de hoek van 108, graden van de vijfhoek door midden deelt in twee hoeken van 54 graden. We zien dat de vijf lijnen elkaar in een punt snijden en het middelpunt van de omschreven cirkel vormen.
6. Delen we alle hoeken van 108 graden van de vijfhoek door midden en verlengen we de lijnen tot de overliggende zijden dan ontstaan 10 rechthoekige driehoeken. Deze driehoeken hebben een bijzonder karakter, het zijn de beroemde driehoeken van Pythagoras. Zijn stelling luidt:

In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hypotenusa (red. schuine zijde) gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden. ( De verhoudingen zijn 3:4:5).De basis van de topdriehoek (A) verhoudt zich op een bepaalde wijze tot de opstaande zijde (B) als verhouding van de beroemde Gulden Snede (Latijns: sectio divina = goddelijke snede). We kunnen het ook anders voorstellen namelijk door de basis zijde (A) van de topdriehoek te verlengen in een opstaande zijde van de volgende topdriehoek (B) We hebben nu te maken met een rechte lijn, me een kort stuk en een langer stuk (B). De lijnstukken verhouden zich volgens de Gulden Snede: A : B = B: (A+ B). Als twee diagonalen van de vijfhoek elkaar snijden verhouden zij zich als de Gulden Snede.
(Voor de astrologen is het makkelijk om de vijfhoek te construeren, omdat zij hun blanco astrologische chart hiervoor kunnen gebruiken)

In één van zijn boeken stelt hij de volgende vraag aan de lezer:

Het antwoord laat een getallen reeks zien van 1,1,2,3,5,8,13,21 etc…Dit wordt later de beroemde reeks van Fibonacci. Later zo genoemd ter ere van Fibonacci door de Franse wiskundige Eduard Lucas Vele wiskundigen hebben door de eeuwen heen hun hoofd gebroken over de wiskunde ontwikkeld door Leonardo van Pisa. Sinds 1920 hebben vele wetenschappers aangetoond dat de getallen verhoudingen van de reeks van Fibonacci terug zijn te vinden in de natuur, muziek en zelfs in de aandelen markt. In 1960 is zelfs een Fibonacci Associatie opgericht, dat een tijdschrift Fibonacci Quarterly vier keer per jaar uitgeeft. (Hun logo is een vijfster!).
Op het Internet (Altavista) vindt men veel interessant materiaal over de Fibonacci getallen, alsmede de Gulden Snede.

Nu weer terug bij de geometrie van de vijfster.We hebben gezien dat het lijn stuk A-B de verhouding van de Gulden Snede. Hoe komt de reeks getallen van Fibonacci nu in beeld. Als we voor A het getal 1 en B het getal 2, nemen volgt met de formule van de Gulden Snede dat het volgende getal 3 is. (A :B = B : (A+B) of te wel 1 : 2 = 2: (1+2) ). Als we nu steeds doorrekenen krijgen we getallen reeks die er uit ziet als volgt 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 etc. Dit is de reeks die Fibonacci al in de dertiende eeuw heeft ontdekt!
Om te laten zien hoe kinderlijk eenvoudig het is om het getal uit te rekenen dat volgt op 89 herhalen we de berekening van daarnet: 55 : 89 = 89 : (89 + 55). Als we de twee laatste getallen optellen krijgt men het volgende getal van de reeks van Fibonacci dwz 144.
Om het met woorden uit te drukken: de som van de twee laatste getallen levert het volgende getal op.
Als men elk getal van de reeks deelt door het volgende getal is de uitkomst ongeveer 0.618… en deelt men elk getal door het voorafgaande krijgt men ongeveer 1.618… Nemen we nu het lijnstuk A +B en vullen voor B het bepaald getal in dan volgt uit de formule van de Gulden Snede dat het korte lijn stuk de waarde krijgt van een getal uit de Fibonacci reeks.

Laten we als voorbeeld het getal 13 nemen voor het kortste stuk van de boven omschreven lijnstuk A en het langste stuk B het getal 21. Delen we 13 door 21 dan krijgen we het irrationele getal 0.618… ; als we 21 delen door 13 wordt het getal 1.618…Dit laatste getal wordt aangeduid met de 21^ste letter van het Griekse alfabet: PHI. Deze twee getal 0.618… en 1.618… spelen een heel belangrijke rol bij de Gulden Snede. Deze verhouding zullen we in onze volgende nieuwsbrief nader onder de loep nemen.

Nog eerst iets over de irrationaliteit van deze getallen. Net zoals het getal Pi kan men bijna oneindig door gaan met cijfers achter de komma. Zo berekende men voor het getal Phi met Voor het getal van Phi komt men met 16 getallen achter de komma tot het irrationele getal: 1.618033988749895….
De volgelingen van Pythogoras uit het oude Griekenland hebben het 'oneindig' karakter van irrationele getallen reeds in de zesde eeuw voor Chr. opgemerkt. Ze vonden dit maar griezelig en beangstigend, zodat zij besloten om hun ontdekking strikt geheim te houden en de doodstraf te zetten op als iemand het mocht het geheim mocht verraden. De legende beweert dat iemand dit gebod heeft overtreden op zee is verdronken!

In zijn boek The power of Limits heeft G. Doczi dit goed weergegeven

"Irrational numbers are not unreasonble; they are only beyond reason, in the sense that they are beyond the grasp of whole numbers. They are infinite and intangible. In patterns of organic growth the irrational phi ration of the golden section reveals that there is indeed and infinite and intangible side to our world "..

Hij eindigt met het schitterende gedicht van William Blake :

Gebruikte literatuur voor deze nieuwsbrief:
Doczi, G. (1981) The Power of Limits. Shambala Publications ISBN 0-87773-193-4
Garland, T.H. (1987) Fascinating Fibonaccis. Dale Seymor Publications.ISBN 0-86651-343-4.
Penrose. (1989) The Emporor,s New Mind. Oxford University Press, Oxford, ISBN 0-19-851973-7

Alsmede vele internet pagina's : Golden Section, Fibonacci numbers. Pentagram, Precession etc ( via zoek machine Altavista)

In een volgende nieuwsbrief geven we van dit materiaal een aantal voorbeelden, die ons laten zien hoe belangrijk de Gulden Snede, de Fibonacci getallen en het Pentagram in de wereld om ons heen, zonder het misschien te beseffen.

Tot slot nog een constatering. Het is opgevallen dat de geraadpleegde literatuur over de onderwerpen van het Pentagram, de Gulden Snede en de Fibonacci getallen reeks in twee categorieën valt onder te verdelen. De eerste categorie heeft het over de precessie en alle zaken die daarmee te maken hebben (zie onze nieuwsbrief nr 3 en 4). Een tweede categorie geeft veel materiaal over de Gulden Snede, Fibonacci getallen reeks. Het Pentagram wordt daar o.a. mee in verband gebracht.
Maar tot nu toe werd nergens in de literatuur gevonden een publicatie die de vijfster, Gulden Snede, Fibonacci getallen enerzijds en de precessie getallen anderzijds met elkaar in verband brengt. Zoals aan het begin van deze nieuwsbrief duidelijk is te zien, kan de vijfster geconstrueerd met de hulp van de precessie getallen 36, 54,72, 108. Mag de voorlopige gevolgtrekking worden getrokken dat men deze relatie nog niet heeft gemaakt of is ons literatuur onderzoek nog niet volledig geweest? Hopelijk krijgen we van onze lezers nadere gegevens die zouden kunnen aantonen, dat men wel degelijk de precessie in verband brengt met het symbool van de vijfster.

Toevoegsel:
Als men de tafel van negen beziet, blijkt dat als men de twee cijfers van de uitkomst van een vermenigvuldiging (bv 3x 9= 27), bij elkaar optelt er altijd het getal 9 uitkomt. Dit is met alle andere tafels van vermenigvuldiging niet het geval. Als men nu alle hoeken van de vijfster en de getallen van de precessie op dezelfde manier bij elkaar optelt komt er steeds weer het getal negen als uitkomst.Zie maar, de hoeken van de vijfster en de precessie getallen: 18, 36, 54, 72, 108, 144,180, 216, 432.  Steeds weer is de optelsommen van de cijfers het getal negen.In de numerologie wordt het getal negen gezien als het getal van de voltooiing, vervulling, regeneratie.

.