De Uranische Vijfster

De Uranische Vijfster, Nieuwsbrief nummer 8. Baarn, 27 December 2001, tijdperk Vissen

Stichting Democratisering Wetenschap en Astrologie aan Stichting Vulcanus

De Gulden Snede en de Fibonacci getallen

Historie
De Griekse wiskundige Euclides (325-265 v.Chr, geboren en gestorven in Alexandria, Egypte) heeft een heel belangrijk wiskundig boek geschreven de Elementen in dertien delen. In het zesde boek heeft hij een stelling verkondigd, die het begin zou zijn van de Gulden Snede, al noemde hij deze verhouding nog niet met name. De stelling luidt als volgt:

Een rechte lijn wordt verdeeld in twee ongelijke segmenten op zo'n manier, dat de verhouding van deze lijnstukken zodanig is dat het kleinste segment zich verhoudt tot het grootste segment als het grootste deel tot de gehele lijn.

Ook in zijn dertiende boek komt deze stelling weer voor. Hij stelt daarin o.a. dat deze verhouding ook voorkomt in het pentagram.
Het was Leonardo van Pisa, die in de dertiende Eeuw een getallenreeks ontwierp, die de verhouding van de Gulden Snede weergaf. ( Fibonacci reeks).
Het is pas in de 16^e eeuw, dat de verhouding een naam krijgt en wel door de Italiaanse Franciscaner monnik Luca Pacioli di Borgo (1445-1517). Hij noemde de verhouding van Euclides in zijn boek Divinia proportione (1509): de heilige verhouding of de gouden verhouding. Hij was sterk bevriend met Leonardo da Vinci, die de 60 (!) figuren voor zijn boeken heeft getekend. Hij was een sterke aanhanger van Pythagoras, die getallen heilig verklaren. Aan het eind van de 16^e eeuw was het Johannes Kepler (1797), die in zijn Mysterium Cosmographicum schreef:

"Meetkunde heeft twee grote schatten: de eerste is het theorema van Pythagoras en de tweede is de verdeling van een lijn volgens de Gulden Snede. De eerste kunnen we vergelijken met goud en de twee met een kostbaar juweel".

De boeken van Pacioli zijn bijna vier eeuwen vergeten tot zij aan het eind van de 19^e eeuw weer zijn opgerakeld en herleefde de belangstelling in de Gulden Snede en de logica ervan. In de 20^ste eeuw is het de Frans-Zwitserse architect LeCorbusier (1887-1965), die de Gulden Snede centraal stelt in zijn architectonisch systeem: de Modulator. Dit systeem was gebaseerd op twee lijnstukken, vastgesteld met behulp van de Gulden Snede en betrokken op de verhoudingen van het menselijk lichaam. Uitgegaan werd van de maat van een rechtopstaande man met opgeheven hand. (figuur 1)

Constructie van de Gulden Snede

Er zijn verschillende manieren om tot een constructie van de Gulden Snede te komen. In onze nieuwsbrief 5 hebben we de precessie getallen daarvoor gebruikt. Normaal gebruikelijk is, dat men begint met een vierkant. Eerst bepaalt men het midden van de onderste zijde van het vierkant, vervolgens trekt men een diagonaal naar één van de hoekpunten Deze diagonaal cirkelt men om naar het verlengde van de onderste lijn van het vierkant. Daarna construeert men een raaklijn aan deze cirkel, die evenwijdig is met de opstaande zijden van het vierkant (figuur 2). De Gulden Snede geeft men aan met de 21^ste Griekse letter Phi, genoemd naar de beginletter van de Griekse architect Phidias.
In het pentagram en pentagon vinden we de Gulden Snede op verschillende manieren terug (figuur 3).
Een heel bijzondere figuur, werd al door de schilder Albrecht Dürer (1471-1518) opgemerkt, is de pentaflake. (Weisstein, 15).Het is een fractal (een figuur die in verschillende dimensies altijd dezelfde vorm heeft) met een vijfvoudige symmetrie. Het zijn vijf pentagons, die op de zijden van een pentagon zijn opgebouwd. Deze cluster van zes pentagons hebben weer de vorm van een pentagon met weglating van vijf gelijkbenige driehoeken. Dit proces kan weer herhaald worden tot "bijna" in oneindige (figuur 4). Hhierbij heeft het gebruik van het woord "bijna" een diepere betekenis. Zoals we in de eerste nieuwsbrief hebben gezegd, is het gebruik van het getal nul sinds de 14^e eeuw helaas in onze samenleving doorgedrongen. Maar het getal nul of oneindig kunnen wij stervelingen nooit bereiken, altijd blijft er wel ruimte over, hoe klein dan ook, tussen het door ons bereikte getal, zowel een groot als een klein getal achter de komma. Het nadert tot nul of oneindig om het nooit helemaal te bereiken. We maken altijd een klein stapje om van het ene getal naar het andere getal te komen, een 'quantum' sprongetje. Alleen als ruimte en tijd voor ons ophouden te bestaan, zouden we misschien theoretisch gezien er mee in aanraking kunnen komen, je weet maar nooit!).
Van de gouden driehoek - de driehoek punt van een vijfster - kan men een gouden spiraal construeren. Men trekt een lijn van de basishoek van 72 graden naar de overstaande zijde. (denk daarbij weer even aan de precessie getallen!). Het magische is dat deze lijn weer uiteenvalt in twee stukken, die zich volgens de Gulden Snede verhouden. Als men dit met de kleine driehoek herhaalt en alle punten van de gemaakte driehoeken door een vloeiende lijn met elkaar verbindt ontstaat een gouden spiraal, die men in de natuur vele malen tegenkomt: van schelpen tot de spiraal van het melkwegstelsel (figuur 5).

Platonische vormen

Niet alleen in het platte vlak vinden we de Gulden Snede. Ook in driedimensionale veelvlakken zien we de Gulden Snede weer optreden. Al heel lang houdt de mens zich bezig met het ontstaan van de vorm. De creatie mythen beginnen met een ongedifferentieerde ruimte zonder grens en vorm. Hoewel het grote geheim is dat impliciet alle vormen, die wij in ons heelal kennen, reeds potentieel aanwezig waren. Opeens ontstaat er ruimte en tijd en dus ook een vorm. De Egyptenaren laten de God Atum ontstaan uit deze kosmische oceaan Nun. Deze onderscheidt zich van Nun door de creatie van de vorm. Maar wat voor volume had deze eerste vorm? Het was Plato, die in zijn Timaeus een vijftal vormen ontwierp, die voldoen aan speciale eigenschappen, waarvan elke vorm opgebouwd is in precies dezelfde vlakken. Het zijn de Tetrahedron, Octahedron, Kubus, Icosahedron en de Dodecahedron. (figuur 6). Ze zijn alle opgebouwd uit driehoeken, vierkanten en pentagons. In zijn Timaeus dicht hij de vier basis elementen van de wereld er aan toe tw. aarde, lucht vuur en water. Het vijfde element de Dodecahedron heeft de schepper gebruikt om het universum te maken en is geassocieerd met het vijfde element de ether (Prana). Uit de chaos ontstaat door middel van de vormen het universum. De Tetrahedron wordt gezien als de Yin en Yang. Als een resultaat van de interactie tussen Yin en Yang ontstaat de Kubus, het symbool van de materie met zijn vier elementen (vuur, aarde, lucht en water). De Octahedron ligt in het hart van de Tetrahedron en symboliseert de kristallisatie, de perfectie van de materie: de diamant. Worden deze figuren groter dat ontstaat de Icosahedron ,de Purusha, waaruit de Dodecahedron ontstaat, de Praktiri.: de volle manifestatie van het bestaan. In de Dodecahedron zagen de Hindoes de vrouwelijke krachten van de creatie en de manifestatie van de universele Moeder. de quintessence van het universum. De Icosahedron en de Dodecahedon vertonen beide de Gulden Snede verhoudingen. Men heeft steeds gedacht dat Plato, de eerste was die deze vormen heeft benoemd. Maar 1000 jaar daarvoor heeft men van de Neolitische mens in Groot Britannië, vijf stenen gevonden met 5 vormen, die vrijwel hetzelfde zijn als die van Plato!
(Fowler, 2) (figuur 7). De dodecahedron kan men construeren door op een bepaalde manier punten van het pentagon en het pentagram met elkaar te verbinden. (figuur 8).

Is het toevallig dat verschillende mensen zoals Plato, Ptolomeus, Kepler en vele anderen aan deze vormen een kosmische betekenis schenken? Archimedes heeft ipv. vijf, dertien verschillende veelvlakken ontworpen, maar dit zijn meer variaties op de vijf basis vormen. Men heeft deze gevonden in een manuscript uit 4^e eeuw n.Chr van Pappus van Alexandria.. Wel heel bijzonder is de voorstelling van Kepler in zijn Mysterium cosmographicum (1596) waarin hij een voorstelling geeft van ons zonnestelsel door middel van de vijf Platonische vormen. Een buitenste bol die de baan van Saturnus omgeeft. In deze bol construeert hij een kubus, waarin de ingeschreven bol Jupiter weergeeft, vervolgens een bol met erin een tetrahedron voor Mars, dan een dodecahedron tussen Mars en de Aarde, een icosahedron tussen de Aarde en Venus en een octahedron tussen Venus en Mercurius. Het is het eerste mathematische kosmologische model . Het heeft de toets van de tijd aardig doorstaan. (figuur 9)

Gulden Snede en Fibonacci getallen in de natuur

Zoals we al eerder gezien hebben is de formule van de Gulden Snede A : B = B : (A+B).
Hoe komen de reeks getallen van Fibonacci nu in beeld. Als we voor A het getal 1 en B het getal 2, nemen volgt met de formule van de Gulden Snede dat het volgende getal 3 is. (A :B = B : (A+B) of te wel 1 : 2 = 2: (1+2) ). Als we nu steeds doorrekenen krijgen we getallen reeks die er uit ziet als volgt
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 etc. Dit is de reeks, die Fibonacci al in de dertiende eeuw heeft ontdekt! Nog even een herhaling wat we over deze reeks hebben geschreven in onze 5^e nieuwsbrief.

Om te laten zien hoe kinderlijk eenvoudig het is om het getal uit te rekenen dat volgt op 89 herhalen we de berekening van daarnet: 55 : 89 = 89 : (89 + 55). Als we de twee laatste getallen optellen krijgt men het volgende getal van de reeks van Fibonacci dwz 144. Als je op een rekenmachine de eerste getallen op elkaar gaat delen is de verhouding nog niet precies wat overeenkomt het Phi getal van 1.618 of 0.618. Maar hoe verder je in de reeks komt des te kleiner wordt het verschil met het Phi getal.
Om de reeks van Fibonacci in woorden uit te drukken kan men stellen dat : de som van de twee laatste getallen levert het volgende getal op.
Volgens de wiskundigen is het meest irrationele getal uitgerekend het getal van de verhouding van de Gulden Snede! Het is voor hen niet duidelijk of dit toppunt van irrationaliteit te maken heeft met haar artistieke toepassingen van de Gulden Snede. (AMS,8)
We kunnen niet genoeg de nadruk leggen, hoe belangrijk de ontdekking van Fibonacci getallen reeks door Leonardo van Pisa is geweest, die de Gulden Snede verhouding in een geheel nieuw perspectief heeft geplaatst. De hier volgende voorbeelden leggen dit onomstotelijk vast. Het is ondoenlijk om alle voorbeelden hier te behandelen, we doen slechts een enkele greep. Verwezen wordt naar de vele websites op Internet, zie onze literatuur lijst.

De bouwsteen voor het leven, het DNA molecule is gebaseerd op de verhoudingen van de Gulden Snede. (Evolution of Truth, 13)
Vele planten hebben een speciale wijze waarop de bladeren zijn gerangschikt langs de stengels. Allemaal erop gericht zoveel mogelijk zonlicht, vochtigheid op te vangen. Het blijkt dat zij zo zijn gerangschikt dat zij een regelmaat hebben, die we terugvinden in de reeks van de Fibonacci getallen. Begint men te tellen vanaf een blad tot men weer komt bij een blad dat zich daarboven bevindt en tevens het aantal malen dat men rond de stengel draait van blad tot blad. (figuur 10). Planten met lange stengels hebben onder aan tov. het bovenste gedeelte een andere verhouding, maar altijd met de getallen van de Fibonacci reeks. Bij de groei van planten kan men zien dat een stengel zich in tweeën splitst, daarna splitst een van de twee zich weer in tweeën etc . Perfecte voorbeelden zijn moeilijk te vinden omdat de invloeden van de omgeving een grote afwijking kunnen opleveren. (figuur 11)
Zonnebloemen zijn wel heel bijzonder in dit verband. In het centrum zijn twee verschillende spiralen te onderkennen één met de klok mee en de ander tegen de klok in. Meestal zijn er 34 naar de ene en 55 naar de andere kant. Maar er zijn ook zonnebloemen die resp. 55 en 89 spiralen, met 89, 144 en 233 spiralen, allemaal Fibonacci getallen. Ook zijn er dubbel Fibonacci nummers gevonden met ipv. 34 , 55 de getallen 68 en 110. (figuur 12)
De schutbladen van een dennenappel vertonen twee spiralen een steile en een vlakke. In de figuur 13 is een dennenappel te zien met 13 parallelle steile een met 8 iets minder steile spiralen.
Een studie van 2000 ananassen heeft laten zien dat de hexagonale schutbladen steeds weer een aantal spiralen te zien geven met een aantal van de Fibonacci getallen resp. 8,13 en 21. (figuur 14)
Bij de genealogie van bijen komen we de Gulden snede en de Fibonacci getallen weer tegen. Een mannetje ontwikkelt zich uit een onbevruchte eicel, hij heeft dus geen vader! De vrouwtjes bijen hebben zowel een moeder als een vader. De koningin paart slechts een maal per jaar en wel in de herfst, De vrouwelijke bijen produceren door pathenogenese in het voorjaar en zomer mannetjes. De vrouwelijke afstamming splitst zich in twee takken, terwijl dit niet het geval is bij de mannetjes. Als we de generaties tellen dan vertonen ze weer getallen uit de Fibonacci reeks (figuur 15). (Garland, 3)
Het meest opmerkelijke voorbeeld van de relatie tussen planten en dieren wereld in verband met de Gulden Snede is te zien in het boek van Dozci (1) op p.77 . Het hart van een madeliefje met haar spiraal opbouw wordt geprojecteerd op de uitgevouwen veren van een pauw. (figuur 16). Dosci zegt hierover "This is not magic : it is the mana of sharing, which is the very nature of nature".
Het menselijk lichaam geeft vele voorbeelden te zien van de Fibonacci getallenreeks en de Gulden Snede. Er is door de eeuwen heen een symbolische relatie gezien tussen de cirkel, het vierkant en het menselijk lichaam. Allereerst hadden de mensen hun hoofd gebroken om een zodanige constructie te maken, dat het mogelijk was om een cirkel zo te construeren, dat ze beide dezelfde oppervlakte hebben. Op een Egyptisch papyrus rol uit 3400 v Chr heeft een dergelijke constructie poging gevonden. Men vergeleek de cirkel met de hemel en de aarde met het vierkant. De mens zou in deze symbolische taal hemel en aarde verbinden. .Leonardo da Vinci ontwierp zijn prachtige schets van een mens in het vierkant en de cirkel. (figuur 17). De navel verdeelt het lichaam volgens de Gulden Snede verhouding. De nek en de knie verdelen resp. het bovenste en onderste deel van het lichaam. Ook zien we de onderarm, en hand als ook de verschillende kootjes van de handen, het hoofd, het gezicht allemaal volgens de Gulden Snede verhouding en met de getallen van de Fibonacci reeks. Als men de wijsvinger dichtvouwt kan men een rechthoek construeren met Gulden Snede verhoudingen (figuur 18)
Ook in bouwwerken door de eeuwen heen is de Gulden Snede terug te vinden van de Egyptische piramides, Keltische Stonehenge, het Griekse Parthenon, tot de Notre Dame aan toe. Figuur 19 laat de Gulden Snede verhoudingen zien bij de grote piramide van Gizeh, maar ook de wiskundige relatie van de Gulden Snede en de constante Pi van de cirkel (Sunman,11) .
In de muziek spelen de Gulden Snede en de Fibonacci getallen eveneens een grote rol.. Allereerst op de rangschikking van de toetsen van een piano. Een octaaf is opgebouwd uit 8 witte en 5 zwarte toetsen. De zwarte toetsten zijn gerangschikt in twee groepen van 2 en 3. Bij elkaar zijn er dus 13 in een octaaf. Vele musici hebben muziek gecomponeerd waar de Gulden Snede is verwerkt Een Russische componist Sabaneev heeft veel onderzoek gedaan naar de relatie tussen de muziek en de Gulden Snede. Hij heeft in 1790 muziekstukken van 42 componisten 3775 keer de Gulden Snede, bij Arensky, Beethoven, Haydn, Mozart, Chopin, Schubert en Skrjabin. Hij merkt op dat:". the intuition of the form and ordering, as it is necessary to expect, is strongest for the first class geniuses". (Golden Museum,12). De Amerikaanse wiskundige John F.Putz (7) heeft een studie gemaakt van Mozart en de Gulden Snede. Hij vraagt zich af of Mozart op de hoogte was van de Gulden Snede. Hij zegt hierover het volgende: " In Mozart's time,the sonataform movement was conceived in two parts.(…) It is this separation into two sections [that} gives cause to wonder how Mozart apportioned these works. That is, did Mozart divide his sonates according to the golden ratio with the exposition as the shorter segment and the development and recapitulation as the longer one?" Hij beantwoordt deze vraag als volgt: "In any case, Mozart did create divine divisions in his piano sonates-making the interplay of sections like sunlight. Yet he apparently timed those division with his mind-- not with math, or at least not with the golden section" (May, 5)
In dichtkunst zijn de Fibonacci getallen gevonden, zoals in de gedichten van Puskin, die bij grootte van zijn gedichten de voorkeur gaf aan lengte van resp. 5,8,13, 21 en 34 regels.
Het schijnt echter dat Sergey Eisenstein in zijn beroemde film "Armadillo by Potemkin" het principe van de Gulden Snede bewust door hem is toegepast.
In de Schilderkunst zijn talloze voorbeelden te noemen, zoals in het Laatste avondmaal en de Mona Lisa van Leonardo Da Vinci.
Zelfs van uit de ruimte bereiken ons extreem lage frequentie trillingen met een frequentie gelijk aan de Phi: 1.618033 hertz. Deze worden onderzocht door de groep ELFRAD (Extreme Low Frequency Research And Development) olv van Charlie Plyler groep in de VS. De bron van de straling is niet gerelateerd aan de zon of elke andere bekende bron. Ze zijn over de gehele wereld waargenomen. (Evolution of Truth, 13)
Er zijn momenteel een tweetal graancirkels beschreven met een pentagram.. In 1993 bij Bythorn en de tweede bij Bishops Canning in Engeland. Beide vertonen een pentagram met een punt naar het nZuiden gericht. (figuur 20) (Glickman, 9)
Vele voorbeelden van zowel de Gulden Snede en Fibonacci getallen reeks getallen zijn te vinden in een artikel van Green (10). Hij citeert Huntley (4) met een aantal voorbeelden uit de fysika.

Na deze opsomming willen we hier nog aan toevoegen dat we geloven als een kunstenaar een creatie schept of het nu een bouwwerk, schilderij, gedicht of muziekstuk is, hij afgaat op zijn gevoel en niet berekenend te werk gaat. Hij voelt intuïtief de juiste verhoudingen en komt dan meestal uit op de Gulden Snede verhoudingen.. De Oostenrijkse wetenschapper Paturi (7) komt eveneens tot deze conclusie:

In all times the artist, consciously or unconsciously studied to comprehend the laws of aestethic perception by watching the nature. The artists were enchanted always by the simple and simultaneously rational geometry of the biological forms growths.

Over deze biologische groei heeft Valerie Vaughan (14) heel interessante dingen geschreven:

The gnomonic growth, from the inside outwards, is associated with living organisms and allows greater movement potential, whereas in crystals the growth is by agglutination, or simple addition from outside inward and the final distribution of energy in the system being such as to cause no further motion. This comparison implies that immobility is created through the crystalline number system of Western mathematics and could therefore be potentially the final product of Western culture. To transform one's thinking beyond the inflexible world of measurement requires the development of awareness that is independant of the laws manifest in the material world. Multplication is really a special form of addition and PHI represents a coinciding of the process of addition and multiplication. What was a clear accumulation suddenly becomes a square: PHI +1= PHI square! And there is a leap of growth. In the plant the simple additive growth in the stem suddenly erupts the flower. In our brains the additive accumulation of data suddenly blossoms into a geniune understanding.

Ze geeft ook nog een aanduiding in welke richting we ons onderzoek op de natuur moeten richten

Instead of seeking the causes of material phenomena deep down in the structure of matter in ever smaller sub units we have to look for principles and patterns. Accepting such a precept and rejecting atomism would not only put a lot of scientists out of work it would suggest that time might be better spent in anything what obviously works and in worshipping nature i.e doing what every known culture but our own modern one has done

Samenvattend kunnen we toch wel stellen, dat de natuur zoals deze door ons wordt waargenomen opgebouwd is uit eenvoudige principes, die echter in zich dragen de mogelijkheid tot het ontstaan van een vrijwel oneindige diversiteit. Als we echter bepaalde verbanden kunnen ontwarren dan ziet het er ongelooflijk simpel uit. Zo hebben we in de afgelopen nieuwsbrieven een bepaald verband aangetoond nl. het directe verband dat bestaat tussen de getallen van de precessie van de aardas enerzijds en de Gulden Snede, de Fibonacci getallen en de vijfster anderzijds.

Maar het grote mysterie blijft. We blijven ons verwonderen, verbazen over het feit dat toen enkele miljarden jaren geleden alle materie en energie vormen ontstonden zoals wij die nu kennen, impliciet zij aanwezig waren. We poneren hier bij de volgende gewaagde werkhypothese: Diep ergens in ons collectief onderbewustzijn dragen wij de ervaringen mee van alles wat er na de oerknal is gebeurd.
We willen hierbij wel een kanttekening plaatsen. Alle beelden die wij van de wereld om ons heen vormen, zijn uitsluitend puur menselijke voorstellingen. Het zijn constructies, die wij door middel van onze hersenen van de wereld om ons heen maken en zijn niet meer dan dat en mogen nooit de illusie wekken meer dan dat te zijn.

In de volgende nieuwsbrief laten we de ontstaansmythen - zoals men vroeger dacht over het ontstaan van ons universum - de revue passeren. We zullen dan zien hoe anders de mens van toen (duizenden jaren geleden) dacht over de wereld die hem omringde. Hoe de mens nog sterk op de natuur gericht was en niet zozeer op zijn eigen egobewustzijn zoals de huidige westerse mens.

Gebruikte literatuur
1. Doczi, G. (1981) The Power of Limits. Shambala Publications ISBN 0-87773-193-4
2. Fowler, R. (1982), Sacred Geometry, Thames & Hudson ISBN 0500-81030-3
3. Garland, T.H. (1987) Fascinating Fibonaccis. Dale Seymor Publications.ISBN 0-86651-343-4.
4. Huntley,H.E. (1970) The divine proportion: a study in mathematical beauty, Dover 1970
5. May, M. (1996) Did Mozart use the golden section? American Scientist march-april
6. Paturi, F.R.. Nature, Mother of inventions: the engineering of plant life.
7. Putz, F. (1995) Mathematics Magazine (68(4), p.275-282

Via Internet
8. American Mathematical Society (2001) The most irrational number.
9. Glickman, M and P.Murray (1997) The Bishops Cannings Formation. Website Judy Chiswell,.
10.Green, C.D. (2001), Mathematical and historical background to "All that glitters..: a review of psychological research on the aethetics of the golden section ."
11.Sunman's Golden Section
12.Stakhov, O, (2000) The Golden Museum *)
13.The evolution of Truth.(1999-2001) The Phi nest on the golden section
14.Vaughan V. (2001) The Fibonacci numbers: connection within the mathematics and calendrial system
of ancient Mesoamerica.
15.Weisstein,E.W.(1999) Pentaflake..Wolfram research web

*) Van de wiskundige Professor Stakhov van de Universiteit Vinnitsa, Oekraïne, de auteur van de website van de "Golden Museum", kregen we een zeer positieve reactie over onze resultaten betreffende de relatie van de Gulden Snede en de precessie getallen. Hij vroeg ons voor zijn Electronic Journal : "The Golden Section: Theory and Applications" een artikel te schrijven. Hij zal ook onze resultaten op zijn website publiceren. Professor Stakhov neemt de woorden uit onze mond door de volgende hartenkreet te plaatsen:

Dear reader! For each of you, who had enough patience to reach this page of our Museum, there is a question instinctively: why I had not possibility to get such interesting information in secondary school? You know that the knowledge about the "golden section" and its numerous applications in the Nature, Science and Art could enrich doubtlessly of each of us. And hardly someone from the recognized pedagogical scientists can give the intelligible answer to this question. Frankly speaking, and we, the authors of the present Museum, cannot answer this question too. Possibly, the point is in tradition. Traditionally the classic science, and consequently, the classic pedagogic, treated to the "golden section" with some prejudice. The point is in the broad usage of the "golden section" in the astrology and so-called "esoteric sciences".

fbeeldingen in nieuwsbrief 8 (zie verwijzing in tekst, evenals de auteurs van de figuren in de lijst van gebruike literatuur)

Bij het ontwerpen van grote wooneenheden ging hij uit van een door hem uitgedacht systeem 'Modular ' genaamd, vastgesteld met behulp van de Gulden Snede ( Grote Winkler Prins, deel 11, p.668, 1974)

Constructie Gulden Snede

Gulden Snede verhouding in pentagon en pentragram.

Pentaflake, een fractal met vijfvoudige symmetrie (E.W.Weisstein)

Constructie van de gouden spiraal, lijn die de hoek van 72 graden door midden deelt en die bij de kleine ontstane driehoek weer te herhalen, vervolgend de hoekpunten van de driehoeken door een vloeiende lijn te verbinden (Garland, p.82-83)

De vijf platonische vormen a. Tetrahedron, b. Octahedron, c. Kubus, d. Icosahedron, e. Dodecahedron

Bolvormige stenen van Neolithische mensen (1000 jaar voor Plato) met 5 vormen, die sterk aan de Platonische vormen lijken (Fowler)

Constructie van een dodecahedron vanuit het pentagon en pentagram

Visie van Kepler van het zonnestelsel met behulp van de 5 Platonische vormen (Fowler)

Planten groeien spiraalsgewijs. Acht stelen in drie groeispiralen (Garland, p.7)

Wilde Bertram (Achillea ptarmics) laat zien het aantal stelen in elke horizontaal niveau van de ontwikkeling (Garland p.13)

Zonnebloem hart met twee spiralen van resp. 55 parallelle rijen tegen de klok in en 89 spiralen met de klok mee. (Garland, p.11)

Dennenappel met 8 vlakke spiralen en 13 steile spiralen;

3 ananassen met resp, 8, 13 en 21 parallelle spiralen (Garland, p. 9-10)

Genealogie van mannetjes en vrouwtje bijen. Mannetjes komen uit onbevruchte eicellen, terwijl de vrouwtjes uit een bevruchte eicel komen. (Garland p.13)

Patronen van cirkels, die worden gedeeld door een pauw met ingestoken veren en het hart van een madeliefje (Doczi, p.77)

Een schets van Leonardo da Vinci met het menselijk lichaam in de cirkel en het vierkant. (Vitruvian mens)

De Gulden Snede verhouding in een gebogen wijsvinger (Garland, p.61)

Gulden snede verhouding van de Grote piramide van Gizah, en de relatie van de Gulden Snede (Phi) met de constante Pi van de cirkel (Sunman)

De graancirkel van zondag 13 juli 1997 in Engeland, Bishops Cannings. De ster ligt in een korenveld en de diameter van de ster is 45 meter (Glickman en Murray)

Toevoegsel nieuwsbrief nummer 5.

In onze nieuwsbrief nr 5 schreven we: "Maar tot nu toe werd nergens in de literatuur gevonden een publicatie die de vijfster, Gulden Snede, Fibonacci getallen enerzijds en de precessie getallen anderzijds met elkaar in verband brengt". Hieronder citeren we, eerlijkheidshalve zonder hierop nader commentaar te geven, enkele artikelen, die enigszins in de richting van de bovengenoemde relatie komen.

1. Op een website van Joseph E.Mason (2000), The "Code"of Carl Munck and ancient Gematrian numbers", hebben we een aanwijzing gevonden, dat deze bovengenoemde relatie ook door hem wordt getrokken.

Back around 1992, a strange thing happened. One night at work the numbers 72 and 360 kept coming into my mind over and over. I knew about the 72 Divine Names, and I had read that 360 was called a "Prophetic Year," by certain proponents of the Bible. (…) I finally stopped and multiplied the numbers coming into my head. 72 x 360 = 25920. I was startled, because I knew this was the number of years of the precession caused by the "wobble" of the earth's axis, giving us our 12 Zodiac Ages of 2160 years each.

Even verder op in de tekst komt de volgende zin voor :

Some months after learning of Carl's work, I had a dream of a circle divided into parts, and I knew it was about the Gematrian system. It came out to a 360 degree circle, or "Wheel," divided into 10 parts of 36 degrees each, giving the sequence - 36, 72, 108, 144, etc.

2. Een tweede verwijzing naar de relatie troffen wij aan in de website van prof. Stakhov "Golden Museum", waarin hij de resultaten geeft van het Amerikaans onderzoeksteam "Planet's Palpitations" olv. van D.Winter in het boek "Charm of Mystery" van de Oekraïense wetenschappers Furduj en Schvardak (persoonlijke mededeling van prof. Stakhov)

The works of the American researcher Winter heading the group "Planetary Palpitations" became the quintessence of geometrical ideas about all being. He is a preacher of the ideal form, unitary "golden section", which like to the "golden chain" connects the gene and the Universe. Accepting the concept of the icosahedro-dodecahedral by the Earth's spin axis during its precession for 26 000 years is equal to 32°.

3. In een artikel van Willem Beekman in het tijdschrift Bres 193 van December 1998/januari 1999, p..30-34 getiteld "Geheimzinnige getallen", legt hij een relatie tussen het getal 2732 en een aantal natuurkundige verschijnselen, zoals de draaiing van de maan om de aarde, het absolute nulpunt, de schuine stand van de aardas tov de zonne-as, de verhouding tussen hart en lichaam en de verhouding tussen aarde en zon.etc. Hij legt ook een verband met het precessie getal van 25.920, het aantal jaren van de precessie cyclus. Hij zegt hierover p.33:

Als we uitrekenen hoeveel ademtochten we maken in een etmaal, dan komen we op het getal 25.920. (…) Dit getal van 25.920 is ook precies het aantal jaren, dat past in het zogenaamde Platonische Wereldjaar. Volgens de astronomie geeft dat de rondgang weer het lentepunt door de dierenriem en volgens de oude Grieken en moderne esoterische stromingen hangt hiermee samen de ontwikkeling van de menselijke cultuur op aarde. In feit is het de aard-as, die zelf een heel langzame beweging maakt in zo'n Platonisch Wereldjaar één omwenteling voltooit.

---------------------------

We blijven doorgaan met onze speurtocht, want het blijft merkwaardig dat we tot nu toe zo weinig zijn tegengekomen betreffende, ons inziens voor de hand liggende, bovengenoemde relatie.